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Partie 4/5: Après avoir vu les calculs de vitesse par rapport aux hauteurs de chutes puis après avoir appris comment calculer l'accéleration ressentie dans les loopings, nous allons rester dans le domaine de l'acceleration et nous interesser plus particulièrement à deux types d'accélerations, ou plutot deux composantes de l'accéleration à savoir l'accéleration latérale et l'accéleration linéaire. Derrière ces termes un peu barbares se tiennent deux notions importantes dans le monde des roller coasters et autres attractions à sensations car rappellons-le : ce n'est pas la vitesse que nous ressentons mais bien ses variations, c'est à dire l'accéleration qu'elle soit négative ou positive.
L'accéleration latérale se ressent uniquement dans les virages (ce qui est logique !), dans le domaine des roller coasters, acceleration rime souvent avec loopings et certains considèrent qu'un roller coaster sans looping n'est pas assez intense. C'est là une erreur, des calculs que nous effectuerons plus tard montreront que des accelerations identiques peuvent etre atteintes sans difficultés avec un virage, qui peut etre assimilé à un looping posé au sol, sans variation d'altitude. Nous verrons dans le quatrième article que l'aspect psychologique rentre alors en compte pour beaucoup dans ce cas. Un virage à plat donne la sensation au passager d'etre ejecté vers l'extérieur du virage. Il s'agit donc d'une acceleration latérale. La formule pour calculer cette acceleration est donnée par la relation suivante : ac = v² / R Avec : a : acceleration ressentie en m/s² Le résultat trouvé sera exprimé en m/s² , pour le convertir en G il faut diviser ce résultat par la constante g (= 9.8 m/s² sur Terre). Remarque : La formule est identique à celle pour les loopings, seule le positionnement dans l'espace change entre les deux cas. On considère le virage suivant, de rayon 5m et une rame entrant à la vitesse de 50 km/h. On pose : On applique la formule : Dans le cas d'un virage plat, l'acceleration trouvée est donc de 3.94G, qui est une acceleration assez forte, nous allons voir comment la réduire en utilisant les virages relevés.
Un virage relevé réduit la sensation d'etre projeté hors de la voie, de plus il est interessant du point de vue conception de trouver l'inclinaison précise où aucunes forces de frictions seront nécessaires pour garder la rame sur la piste. Les roller coasters de type bob utilisent de tels calculs car la voie ne possède pas de rails. Le but d'un virage relevé est aussi de réduire l'acceleration latérale en la rendant positive, c'est à dire verticale.
Nous avons vu au travers de l'article précédent et de cet article, qu'il existe plusieurs types d'accelerations que nous avons traité à part. En pratique de tels calculs sont assez difficiles à réaliser et demandent l'aide d'un ordinateur avec des programmes adaptés, nous traiterons donc d'un exemple tout a fait simplifié : " Une rame arrive d'une ligne droite avec une vitesse de 50 km/h, au bout de cette ligne droite elle arrive au point A, à partir de ce point A, la piste se comporte sur une courte distance comme une portion de cercle de rayon R1=10m et cela selon la composante y . La question est donc de determiner la direction, le sens et la valeur du vecteur acceleration globale quand la rame se trouve au point A. "
Correction : Il faut tout d'abord convertir la vitesse 50 km/h en m/s : Calcul de l'accéleration verticale :
On peut assimiler la courbure verticale de la piste au point A à une base de looping circulaire, on peut donc appliquer les mêmes formules. av = v² / R = (13.88)²/10 = 19.27 m/s² av (en G) = 19.27 / 9.8 = 1.97 G Or comme nous nous trouvons en bas de ce qui peut etre considéré comme une base de looping vertical, il ne faut pas oublier de rajouter 1G pour l'acceleration de la gravité : av = 1.97 + 1 = 2.97 G Calcul de l'accéleration latérale :
al = v² / R = (13.88²)/20 = 9.63 m/s² al (en G) = 9.63 / 9.8 = 0.98 G Calcul de l'accéleration globale : 
L'accéleration globale est la somme vectorielle des vecteurs acceleration verticale et acceleration latérale. Cette somme vectorielle permet de déterminer la direction et le sens du vecteur acceleration globale. ag = av + al (il s'agit d'une addition de vecteurs avec une petite flèche par dessus) Pour calculer la norme du vecteur acceleration globale, il faut appliquer la formule suivante : [[ag]] = v([[av]]² + [[al]]²) (idem : vecteurs ag, al et av avec une flèche par dessus) = v(2.97² + 0.98²)
V. Accéleration Linéaire : Définition et Applications. Une acceleration linéaire est une acceleration qui se déroule en ligne droite et sans aucune variation d'altitude. Maintenant, nous allons nous interesser a une notion mathématique qui va nous permettre de résoudre un problème physique : Par définition, l'acceleration est la dérivée de la vitesse par rapport au temps, c'est à dire : a = dv/dt Cette formule peut facilement se justifier par une analyse dimensionelle : L'acceleration a, s'exprime en m/s²
Nous obtenons en unité des m/s², ce qui est bien l'unité de l'acceleration. Nous n'allons pas rentrer dans la complexité des calculs de dérivées et des outils mathématiques qui s'y rapportent, pour réaliser un calcul d'acceleration linéaire, il suffira de considérer une distance [AB], de la variation de vitesse sur cette distance, et du temps qu'il a fallut pour effectuer cette variation de vitesse. On considerera que l'acceleration demeure constante sur la distance étudiée, c'est pourquoi il faudra toujours choisir la distance [AB] en tenant compte de ce paramêtre et si il le faut diviser cette distance en sous distances. La formule à utiliser ici sera la suivante : a = variation de vitesse sur la distance [AB] / temps de l'operation. Le résultat trouvé est exprimé en m/s², pour avoir le résultat en G, il faut diviser le résultat obtenu par g ( g = 9.8 m/s² sur Terre).
Les données oficielles de Space Mountain à Disneyland Paris indiquent que lors du catapultage dans le canon, la rame passe de 0 à 80 km/h en 1.8 secondes. Nous allons donc calculer l'acceleration ressentie par un passager d'une rame de Space Mountain. On pose : 80 km/h = 22.2 m/s, la variation de vitesse est donc de 22.2 m/s . On applique la formule : ac = 22.2 / 1.8 = 12.33 m/s² Il nous reste a convertir en G : ac = 12.33 / 9.8 = 1.26 G Le résultat peut vous paraître faible, mais contrairement aux accelerations des loopings, votre propre poids, acceleré en toutes circonstances de 1G par la pesanteur terrestre n'est pas pris en compte dans ce calcul. Remarque : Nous avons pris l'exemple d'une variation de vitesse partant de 0. Pour calculer l'acceleration linéaire sur une distance délimitée par 2 points où la vitesse est non-nulle, il suffira de ramener le point ayant la vitesse la plus faible à un niveau référence de 0 et appliquer la formule. Accéleration latérale : ac = v² / R Avec a : acceleration ressentie en m/s² Le résultat trouvé sera exprimé en m/s² , pour le convertir en G il faut diviser ce résultat par la constante g (= 9.8 m/s² sur Terre). ac (en G) = ac (en m/s²) / g
Accéleration sur courbe relevée : [[ag]] = v([[av]]² + [[al]]²)
Accéleration linéaire : a = dv/dt Le résultat trouvé est exprimé en m/s², pour avoir le résultat en G, il faut diviser le résultat obtenu par g ( g = 9.8 m/s² sur Terre).
VII. Correction de l'exemple du précédent article. L'énoncé de l'exercice non résolu de l'article précédent était le suivant : " On considère un looping irrégulier simple, possédant un rayon de 6m sous l'horizontale et donc de 3m sur l'horizontale. Une rame entre dans ce looping à la vitesse de 56 km/h. Quelle est l'acceleration ressentie (exprimée en G) par un passager à l'entrée du looping et en son sommet ? " Correction : On convertit tout d'abord la vitesse en m/s : 56 km/h = 15.56 m/s A l'entrée du looping : ac = v² / R (avec R à la base du Looping, c'est à dire R=6m)
ac (en G) = ac (en m/s²) / g Etant donné que l'on se trouve à la base du looping, il faut ajouter 1 au résultat : ac (en G) = 4.11 + 1 = 5.11 G Au sommet du looping : Au sommet du looping, la rame s'est élevée, elle n'est donc pas à la même hauteur qu'au point de départ, sa vitesse a donc diminuée, il faut la calculer. Dans le cas présent il faut additionner le rayon du Looping situé sous l'horizontale, au rayon du looping situé sur l'horizontale, c'est à dire appliquer la formule, R + R/2, soit ici 6 + 3 = 9m. La rame s'est donc élevée de 9m et possédait une vitesse initiale v0=15.56 m/s. On applique donc la formule : vb = v(v0² - 2gh) avec h positif = hauteur de la montée On peut donc appliquer les formules propres à l'acceleration : ac = v² / R (avec R au sommet du Looping, c'est à dire R/2) On convertit alors en Gs : ac (en G) = ac (en m/s²) / g Etant donné que l'on se trouve au sommet du looping, il faut retrancher 1 au résultat : ac (en G) = 2.23 - 1 = 1.23 G On peut donc conclure que dans le cas d'un looping irrégulier simple de rayon de base R=6m et de rayon de sommet R/2=3m, avec une vitesse d'entrée de 56 km/h, l'accéleration ressentie par un passager d'une rame effectuant ce looping est de 5.11G à la base et de 1.23G au sommet. Pour cet article, nous ne vous proposerons pas de nouvel exercice non résolu devant la diversité des points abordés. Clément R. |
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