Partie 2/5:
HAUTEURS, CHUTES et VITESSES

Que ce soit sur un roller coaster, ou sur un flume ride, on retrouve de nombreuses descentes. Nous allons donc voir comment peut se déterminer la vitesse d'un mobile (rame, wagon, bûche, …) suite à une chute dont la hauteur est connue, puis nous verrons un cas qui est plus propre aux roller coasters, à savoir la vitesse d'une rame après une chute ou une montée de hauteur connue avec une vitesse initiale.

 I. Quelques Eléments de Base

On considère que toute entité physique possède une énergie mécanique (Em), cette énergie mécanique est la somme de 2 énergies : l'énergie cinétique (Ek) et l'énergie potentielle (Ep) dont voici le mode de calcul :

Ek = 1/2mv²
Ep = mgh
Em = Ek + Ep

Ces formules ont pour unités :

Em, Ek, Ep : Joules (J)
La masse m : Kilogrammes (Kg)
La constante g : 9,8 ms^-²
La hauteur h : mètres (m)
La vitesse v : mètres par seconde (m/s ou m.s^-1)

Comment convertir une vitesse en km/h en m/s et inversement ?

Pour passer d'une vitesse en km/h en m/s, il faut multiplier par 1000 et diviser par 3600 (nombre de secondes en une heure).

Ex : 40 km/h = (40X1000)/3600 = 11,1 m/s

Pour passer d'une vitesse en m/s en km/h, il faut multiplier par 3600 et diviser par 1000.

Ex : 15 m/s = (15X3600)/1000 = 54 km/h

 
II. Calcul de la vitesse d'une rame connaissant la hauteur de chute et considérant que la vitesse initiale de la rame est proche de 0.

On considère un mobile (rame, bûche, …) juste avant une descente, ayant une vitesse quasi nulle (ce cas peut être utilisé juste après un lift - montée - tracté) le tout représenté par le schéma suivant :

Considérons l'énergie mécanique au point A :

Em = Ek + Ep
Em = 1/2mv² + mgh ( au point A : v = 0, donc Ek = 0)
Em = mgh = Ep

Considérons l'énergie mécanique au point B :

Em = Ek + Ep
Em = 1/2mv² + mgh ( au point B : h = 0, donc Ep = 0)
Em = 1/2mv² = Ek

Le système étant considéré comme parfait, c'est à dire sans frottements (dont nous reparlerons plus tard), il y a conservation de l'énergie entre les points A et B.

Comme en A : Em = Ep ; et en B : Em = Ek on a :

Ep = Ek
D'où mgh = 1/2mv²
Alors gh = 1/2v²
Alors v² = 2gh
Soit v = v(2gh)

III. Calcul de la vitesse d'une rame connaissant la hauteur de montée ou de chute et considérant que la rame possède une vitesse initiale.

A. On considère une rame lancée possédant une vitesse initiale avant d'aborder une montée, comme représenté sur le schéma suivant :

Au point A , on a : h = 0 ; v = v0
Comme h = 0 , on peut écrire que Em = 1/2mv0² = Eka

Au point B , on a : h > 0 ; v = vb
Donc Em = mgh + 1/2mvb² = Epb + Ekb

Il en résulte de la conservation de l'énergie que :

Eka = Ekb + Epb
D'où 1/2mv0² = 1/2mvb² + mgh
Alors 1/2mv0² = 1/2m (vb² + 2gh)
Donc v0² = vb² + 2gh
Soit vb² = v0² - 2gh
D'où vb = v(v0² - 2gh)

B. On considère une rame lancée possédant une vitesse initiale avant d'aborder une chute, comme représenté sur le shéma suivant :

Au point A , on a : h = 0 ; v = v0
Comme h = 0 , on peut écrire que Em = 1/2mv0² = Eka

 Au point B , on a : h < 0 ; v = vb
Donc Em = mgh + 1/2mvb² = Epb + Ekb

Il en résulte de la conservation de l'énergie que :

 Eka = Ekb + Epb
D'où 1/2mv0² = 1/2mvb² + mgh
Alors 1/2mv0² = 1/2m (vb² + 2gh)
Donc v0² = vb² + 2gh
Soit vb² = v0² - 2gh
D'où vb = v(v0² - 2gh)

ATTENTION : La formule est identique, mais dans le cas d'une chute, avec vitesse initiale, la valeur de h est négative puisque l'on considère le niveau de départ (h = 0) comme niveau de référence.
Dans le cas d'une chute sans vitesse initiale (présenté dans le II), la valeur de h est positive car l'on considère le point d'arrivée comme point de référence h = 0.

IV. Exemple d'Application

Une rame est lancée à une vitesse de 70 km/h par des moteurs linéaires à induction (LIM), quand la rame atteint sa pleine vitesse, elle entre dans un looping circulaire de diamètre h = 15 m.
La rame peut-elle effectuer le looping ?

Correction :

Tout d'abord, il faut résumer la question, étant donné que l'on néglige les frottements, la question peut se ramener à : "Une rame a une vitesse initiale de 70 km/h, et doit effectuer une montée de 15 m. Quelle sera sa vitesse au sommet de cette montée de 15m, et si la vitesse est positive (si elle existe, il n'y a pas de vitesses négatives !) alors le looping peut être effectué "

a) Il faut tout d'abord convertir v0 en m/s

Soit :

v0 = (70 X 1000) / 3 600 = 19,44 m/s

b) On peut donc maintenant appliquer la formule vb = v (v0² - 2 gh) en prenant soin de remarquer que pour atteindre le point B, la rame prend de l'altitude, la variation d'altitude est positive, donc h est positif.

L'application numérique donne :

vb = v (19,44² - (2 X 9,8 X 15))

donc : vb = v 83,9 = 9,16 m/s
soit : vb = (9.16 X 3 600) / 1000 = 33 km/h

Conclusion, la rame peut donc effectuer le looping.

Remarque : Les frottements étant considérés comme nuls, on peut vérifier que la vitesse de la rame à la sortie du looping est identique à celle de l'entrée.

vc = v (vb² - 2 gh)
vc = v (9,16² - (2 X 9.8 X (-15))) h est négatif, car on perd de l'altitude
vc = 19,44 m/s = v0

 
V. Quelques notions sur les frottements

Tous les calculs et formules présentées ci-dessus ne tiennent pas compte des forces de frottements.
Les vitesses annoncées par ces calculs sont les vitesses maximales qui peuvent être atteintes dans des conditions parfaites - ce qui n'arrive jamais ! - et sur Terre (exemple : sur la Lune, la valeur de la constante g est de 1,6 m.s-²).

Les causes des frottements sont multiples :

- Le frottement des roues sur les rails, qui crée une petite résistance dépendant de la nature des matériaux qui la compose. Par exemple, si les rails étaient en glace, les frottements seraient moins important qu'avec des rails en acier.

- Les frottements avec l'air, en effet l'air atmosphérique est constitué de 79% de diazote et de 21% de dioxygène qui sont des molécules qui au contact des molécules composant la rame ou de ses passagers créent un certain freinage. La solution à ce problème réside dans l'aérodynamique des rames.

- Les conditions climatiques jouent aussi un rôle important, surtout dans le cas des roller coasters. En cas de pluie, l'eau diminue les frottements entre le rail est les roues.

- Enfin, pour quitter le registre des roller coasters, un flume ride qui se déroule dans l'eau est beaucoup plus vite freiné en bas d'une descente que le serait une rame de roller coaster pour une même hauteur de chute.

 
VI. Formulaire

- Vitesse en bas d'une chute d'une rame ayant une vitesse nulle - ou proche de 0 - avant la chute. (Cas de la première chute après un lift classique):

v = v (2 gh) avec h positif = hauteur de chute

- Vitesse en bas d'une chute d'une rame ayant une vitesse v0 avant la chute :

vb = v (v0² - 2 gh) avec h négatif = hauteur de chute

- Vitesse au sommet d'une montée d'une rame ayant une vitesse v0 avant la phase de montée :

vb = v (v0² - 2 gh) avec h positif = hauteur de la montée

 
VII. Exemple d'Application non résolu

La solution à ce petit problème pratique récapitulant les données présentées plus haut sera publiée dans le prochain article.

En 2001, le constructeur Vekoma a décidé de lancer un nouveau roller coaster à partir d'un modèle déjà existant : le Super Invertigo.
La rame est tractée en marche arrière jusqu'à une hauteur de 59 m, puis elle est lâchée, repasse par son point de départ avant d'entrer dans un cobra roll culminant à 33m …

La question est donc de savoir quelle sera la vitesse de la rame lorsqu'elle repasse par son point de départ (h=0), et quelle sera la vitesse de la rame au sommet du cobra roll.

Bonne recherche !!

Clément R.