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Partie 3/5 :
ACCELERATION RESSENTIE ET LOOPINGS Après s'être intéressé à la vitesse d'un mobile et l'influence des variations d'altitude sur ce paramètre, nous allons aborder une autre grandeur physique qui a une place prépondérante dans le domaine des attractions à sensations : l'accélération. En effet nous ne ressentons pas la vitesse (théorème de l'inertie), mais les variations de la vitesse c'est à dire l'accélération.
L'accélération est une grandeur qui nous semble familière, cependant elle demeure assez complexe car elle est une dérivée de la vitesse par rapport au temps (l'unité de l'accélération est le m/s² que l'on peut aussi écrire m.s-²) et elle requiert aussi une interprétation vectorielle. Nous allons donc voir dans cet article comment calculer les accélérations ressenties dans les loopings circulaires et irréguliers.
L'accélération est ici centripète, et est donnée par la relation suivante :
Dans le domaine des attractions, on exprime souvent l'accélération en G (on trouve parfois aussi écrit "g's"). Un G équivaut à une fois l'accélération de la pesanteur sur Terre (soit 9,8 m/s²). On obtient le résultat en G en effectuant le quotient de l'accélération trouvée en m/s² par l'accélération de la pesanteur Terrestre g, soit :
II. Cas d'un Looping Circulaire Quand une rame entre dans un looping circulaire, elle est soumise à plusieurs forces :
Or, d'après les lois de Newton, la somme des forces exercées sur un mobile est égale au produit de sa masse par son accélération :
De la relation précédente, on peut écrire :
Comme une force est égale au produit de la masse par l'accélération (F = m.a) on peut dire que :
L'accélération ressentie par un passager à l'entrée d'un looping est donc égale à l'accélération centripète exprimée en G à laquelle on ajoute 1.
On a dans ce cas :
Comme une force est égale au produit de la masse par l'accélération (F = m.a) on peut dire que :
L'accélération ressentie par un passager au sommet d'un looping est donc égale à l'accélération centripète exprimée en G à laquelle on soustrait 1.
Attention : Au sommet du Looping, la vitesse de la rame n'est pas la même qu'à l'entrée, il est donc très important de la calculer grâce aux formules de conservation de l'énergie énoncée dans le chapitre précédent.
Lorsque l'on considère un point du looping autre que son sommet ou sa base, il se pose un problème : les forces F et P ne sont ni dans le même sens, ni dans la même direction. Nous allons donc utiliser la trigonométrie. Tout d'abord, nous allons considérer la direction et le sens de la force F comme repère y. Puis nous allons faire le projeté orthogonal P' de la force P sur la direction de la force F.
Nous pouvons donc appliquer la formule en utilisant le projeté P' :
Comme une force est égale au produit de la masse par l'accélération (F = m.a) on peut dire que :
L'accélération ressentie par un passager en un point faisant un angle a avec l'horizontale et se situant au dessus de cette horizontale partageant le looping en deux parties identiques est donc égale à l'accélération centripète exprimée en G à laquelle on soustrait sin a.
Attention : En tous points du looping autres que son point d'entrée et de sortie (point le plus bas), la vitesse de la rame n'est pas la même qu'à l'entrée, il est donc très important de la calculer grâce aux formules de conservation de l'énergie énoncée dans le chapitre précédent.
Le raisonnement est identique au précédent, sauf que la force F et le projeté P' seront dans la même direction, mais avec des sens opposés, la formule à appliquer sera donc la suivante :
Attention : En tous points du looping autres que son point d'entrée et de sortie (point le plus bas), la vitesse de la rame n'est pas la même qu'à l'entrée, il est donc très important de la calculer grâce aux formules de conservation de l'énergie énoncée dans le chapitre précédent.
Le schéma suivant récapitule toutes les situations possibles et toutes les formules pour calculer l'accélération ressentie en tous points d'un looping circulaire.
Note : aux deux points du looping situés sur l'horizontale, la valeur de a est nulle, comme sin 0 = 0 , on peut donc dire qu'à ces deux points, la valeur de l'accélération ressentie est égale à l'accélération ac, calculée grâce à la formule :
convertie en Gs grâce à la formule suivante :
Attention : En tous points du looping autres que son point d'entrée et de sortie (point le plus bas), la vitesse de la rame n'est pas la même qu'à l'entrée, il est donc très important de la calculer grâce aux formules de conservation de l'énergie énoncée dans le chapitre précédent.
III. Exemple d'Application pour un Looping Circulaire On considère un looping circulaire de 16m de diamètre, et une rame arrivant à la vitesse de 79 km/h dans ce looping. La question est de savoir quelle est l'accélération ressentie par un passager de cette rame à l'entrée du looping, et en son sommet.
Accélération ressentie par un passager à l'entrée du Looping : Il faut tout d'abord convertir la vitesse en m/s :
A l'entrée du Looping circulaire, on applique la formule :
On convertit alors en Gs :
Etant donné que l'on se trouve à la base du looping, il faut ajouter 1 au résultat : Ac (en G) = 6.14 + 1 = 7.14 G Une telle accélération est très peu supportable d'un point de vue physiologique, nous verrons tous ces aspects dans le 4eme article.
Il faut faire très attention à un point : au sommet du looping, la rame s'est élevée, elle n'est donc pas à la même hauteur qu'au point de départ, sa vitesse a donc diminuée, il faut la calculer. Dans le cas présent le diamètre du Looping est de 16 m, la rame s'est donc élevée de 16 m et possédait une vitesse initiale vo = 21.94 m/s. On applique donc la formule :
On peut donc appliquer les formules propres à l'accélération :
On convertit alors en Gs : ac (en G) = ac (en m/s²) / g Etant donné que l'on se trouve au sommet du looping, il faut retrancher 1 au résultat : Ac (en G) = 2.14 - 1 = 1.14 G
IV. Cas d'un Looping Irrégulier Comme on a pu le constater sur l'exemple précédent, le looping circulaire présente un gros inconvénient : ces accélérations très importantes à l'entrée du looping cédant la place à des accélérations très faibles au sommet qui parfois ne permettent pas de rester collé au siège et aux rails. La solution à ce problème est le Looping Irrégulier, nous allons étudier son application la plus simple : Le Looping irrégulier le plus simple consiste en 2 quarts de cercles à la base ayant chacun un rayon R, connectés à un demi-cercle servant de sommet et possédant le rayon des 2 précédents quarts de cercles divisé var 2, soit R / 2. Le Schéma suivant récapitule la situation :
Les calculs a effectuer sont les mêmes que pour un looping circulaire sauf que l'on utilisera suivant la position de la rame, le rayon qui convient, c'est à dire :
Exemple : Reprenons l'énoncé précédent, en considérant une rame entrant à 79 km/h dans un Looping irrégulier, de rayon R=8 m sous l'horizontale, et donc R/2=4 m sur l'horizontale. A l'entrée du Looping, on rentre dans le même cas que dans l'exemple précédent avec les mêmes données, l'accélération est donc égale à 7.14 G.
Au sommet du looping, la rame s'est élevée, elle n'est donc pas à la même hauteur qu'au point de départ, sa vitesse a donc diminuée, il faut la calculer. Dans le cas présent il faut additionner le rayon du Looping situé sous l'horizontale, au rayon du looping situé sur l'horizontale, c'est à dire appliquer la formule, R + R/2, soit ici 8 + 4 = 12 m. La rame s'est donc élevée de 12 m et possédait une vitesse initiale v0=21.94 m/s. On applique donc la formule :
On peut donc appliquer les formules propres à l'accélération :
On convertit alors en Gs :
Etant donné que l'on se trouve au sommet du looping, il faut retrancher 1 au résultat :
V. Comparaison entre Loopings, Weightlessness Le Looping irrégulier est donc très intéressant car il permet d'uniformiser l'accélération. L'exemple traité ci-dessus montre qu'avec une accélération à l'entrée de 7.14 G, on arrive avec une accélération de 1.14 G au sommet pour un looping circulaire, et 5.28 G pour un looping irrégulier de base. Ces accélérations sont extrêmes, cependant il est intéressant de noter qu'avec un looping circulaire, les accélérations à l'entrée doivent être très importantes pour qu'il y ai une accélération suffisante au sommet pour rester collé au siège. Ce type de looping est de moins en moins utilisé, on préfère le looping irrégulier qui permet des accélérations plus acceptables par un organisme à la base et permettant une bonne accélération au sommet. L'exercice non résolu qui va suivre présentera ce cas. Le cas présenté pour un looping irrégulier est le plus simple, il est possible de créer des loopings verticaux plus complexes en assemblant plusieurs parties de cercles de rayons différents. Dans ce cas, pour calculer l'accélération ressentie par un passager en un point donné, il faudra utiliser le rayon de la partie de cercle utilisée à ce point précis. Dans la conception d'un roller coaster, les concepteurs peuvent inclure des moments de weightlessness (apesanteur, la rame n'est plus soumise à aucune accélération). On peut caractériser une situation de weightlessness par une accélération nulle. Il existe de nombreux types d'inversions que nous ne traiterons pas ici, car présentant un calcul d'accélération beaucoup plus complexe. Par exemple les corkscrews (vrilles) présentent une accélération centripète, mais aussi latérale. L'accélération en un point précis du corkscrew est donc la somme vectorielle de l'accélération centripète et de l'accélération latérale. Nous verrons d'ailleurs dans le troisième article comment calculer une accélération latérale et une accélération linéaire.
VI. Formulaire Relations Fondamentales :
v : vitesse de la rame à l'entrée du looping en m/s.
Attention : En tous points du looping autres que son point d'entrée et de sortie (point le plus bas), la vitesse de la rame n'est pas la même qu'à l'entrée, il est donc très important de la calculer grâce aux formules de conservation de l'énergie énoncée dans le chapitre précédent.
On utilise les mêmes relations que pour un looping circulaire sauf que l'on prend le rayon de la portion de cercle au point considéré.
VII. Exemple d'Application non résolu La solution à ce petit problème pratique récapitulant les données présentées plus haut sera publiée dans le prochain article. On considère un looping irrégulier simple, possédant un rayon de 6 m sous l'horizontale et donc de 3 m sur l'horizontale. Une rame entre dans ce looping à la vitesse de 56 km/h. Quelle est l'accélération ressentie (exprimée en G) par un passager à l'entrée du looping et en son sommet ? Bonne recherche !
VIII. Correction de l'exemple du précédent article Dans le précédent article s'intéressant à la vitesse par rapport aux hauteurs de chutes ou de montées, il restait un exemple d'application non résolu en suspens, en voici donc la correction :
"En 2001, le constructeur Vekoma a décidé de lancer un nouveau roller coaster à partir d'un modèle déjà existant : le Super Invertigo. La rame est tractée en marche arrière jusqu'à une hauteur de 59 m, puis elle est lâchée, repasse par son point de départ avant d'entrer dans un cobra roll culminant à 33 m … La question est donc de savoir quelle sera la vitesse de la rame lorsqu'elle repasse par son point de départ (h = 0), et qu'elle sera la vitesse de la rame au sommet du cobra roll."
Pour rejoindre la gare de départ, la rame fait une chute de 59 m avec une vitesse nulle au départ, on applique donc la formule :
Vitesse de la rame au sommet du cobra roll : Pour aller de la gare jusqu'au sommet du cobra roll, la rame effectue une montée de 33 m avec comme vitesse initiale, celle trouvée précédemment (va), on applique donc la formule :
Le constructeur annonce une vitesse maximale de 104 km/h, elle se justifie par la présence de frottements qui font perdre près de 20 km/h théoriques.
Clément R. |
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